Neděle, 24. září 2017.

Rovnice

Predikátová formule T1 = T2 , kde T1,T2 jsou termy, se nazývá rovnice.

nahoru ↑

Algebraická rovnice

rovnice typu P(x) = 0 , kde P(x) je polynom. Koeficienty polynomu jsou koeficienty rovnice, stupeň polynomu je stupeň rovnice. Tzv. základní věta algebry říká:

Každá algebraická rovnice s komplexními koeficienty stupně
většího než 1 má řešení v oboru komplexních čísel.

Pro algebraické rovnice stupně menšího než 5 jsou známy vzorce vyjadřující jejich řešení pomocí koeficientů viz. lineární rovnice o jedné neznámé, kvadratická rovnice, kubická rovnice

Pro algebraické rovnice stupně vyššího než 4 podobné univerzální vzorce neexistují, jak dokázal r. 1826 N. H. Abel.

nahoru ↑

Binomická rovnice

rovnice tvaru xn = a, kde x je neznámá, a je reálné a n je přirozené číslo.

Je-li a = 0, má rovnice jediné řešení x = 0. Nadále předpokládejme, že a ≠ 0.

V oboru komplexních čísel má rovnice právě n kořenů. Je-li a > 0, jsou to čísla

kde

Pro a < 0 jsou to čísla

kde

V Gaussově rovině těmto kořenům odpovídají vrcholy pravidelného n-úhelníku se středem v počátku.

nahoru ↑

Bikvadratická rovnice

má tvar

Snadno se převede na kvadratickou rovnici. (speciální případ trinomické rovnice)

nahoru ↑

Diferenciální rovnice

rovnice v níž neznámou je funkce a alespoň jedna derivace neznámé funkce.

Řád nejvyšší derivace neznámé funkce, která se v rovnici vyskytuje se nazývá řád diferenciální rovnice.

(příklad ze seminární práce; ukázka z "Diferenciální rovnice")

nahoru ↑

Diofantovská rovnice

rovnice jejíž řešení se hledá pouze v oboru celých čísel.

Ax + By = C

Nutnou podmínkou řešitelnosti rovnice v celých číslech je (A, B) \ C, tj. největší společný dělitel čísel A a B musí být dělitelem čísla C.

nahoru ↑

Exponenciální rovnice

rovnice s neznámou v exponentu. Obecně lze exponenciální rovnice řešit jen graficky nebo přibližnými numerickými metodami. Jen v některých jednoduchých zvláštních případech lze tyto rovnice převést na algebraické rovnice.

Základní exponenciální rovnice:

Řešení:

nahoru ↑

Funkcionální rovnice

rovnice, v níž neznámou je funkce

nahoru ↑

Homogenní rovnice

algebraická rovnice o několika neznámých, jejíž členy mají stejný stupeň; například

nahoru ↑

Integrální rovnice

obsahuje neznámou funkci v integrálu

nahoru ↑

Iracionální rovnice

rovnice, v níž se neznámá vyskytuje pod odmocninou. Řešíme ji tak, že vhodným umocňováním odstraníme všechny odmocniny, v nichž se vyskytuje neznámá. Protože umocňování není ekvivalentní úprava, je nutné ověřit, zda řešení rovnice získané umocněním je rovněž řešením dané rovnice.

nahoru ↑

Kubická rovnice (normovaná)

algebraická rovnice 3. stupně

Řešení: "Cardanův vzorec" (viz níže)


Buď dána rovnice

Zavedeme novou neznámou pomocí substituce

tím dostáváme kubickou rovnici

tuto rovnici napíšeme ve tvaru (tzv. redukovaný tvar)

kde .

Kořeny rovnice lze vyjádřit pomocí tzv. Cardanova vzorce

nahoru ↑

Kvadratická rovnice

je algebraická rovnice 2. stupně

Řešení:

Zvláštní případy

Ryze kvadratická rovnice:

Kvadratická rovnice bez absolutního členu:

Normovaná kvadratická rovnice:

nahoru ↑

Lineární rovnice o jedné neznámé

je algebraická rovnice 1. stupně

Řešení:

nahoru ↑

Logaritmická rovnice

rovnice, v níž se vyskytuje neznámá v logaritmickém výrazu. Obecně lze logaritmické rovnice řešit jen graficky nebo přibližnými numerickými metodami. Jen v některých jednoduchých zvláštních případech lze tyto rovnice převést vhodnou substitucí na algebraické rovnice.

Základní logaritmická rovnice:

"minimum vztahů"

nahoru ↑

Pellova rovnice

zvláštní případ diofantovské rovnice

nahoru ↑

Rovnice geometrického útvaru

rovnice nebo soustava rovnic, jejichž řešení si vzájemně jednoznačně odpovídají s body útvaru prostřednictvím soustavy souřadnic.

nahoru ↑

Rovnice s celou částí

rovnice v níž se vyskytují celé části výrazů obsahujících neznámou.

(příklad ze seminární práce; ukázka z "Rovnice, nerovnice a jejich soustavy")

nahoru ↑

Rovnice s parametrem

rovnice v níž se vyskytuje parametr; řeší se diskuzí parametru.; "zápis pro více podobných rovnic"

(příklady z přípravy k maturitní zkoušce)

nahoru ↑

Reciproká rovnice

má tvar

kde an-i = ai pro , případně také an-i = - ai pro .

Říká se jí reciproká, protože je-li její kořen, je (reciproká hodnota) také kořenem.

nahoru ↑

Transcendentní rovnice

rovnice , kde je transcendentní funkce. Mezi transcendentní rovnice patří rovnice goniometrické, rovnice logaritmické, rovnice exponenciální.

nahoru ↑

Trinomické rovnice

rovnice trinomické (z lat. slova trinom = trojčlen) s neznámou x jsou algebraické rovnice typu

kde a, b, c jsou libovolná komplexní čísla je přirozené číslo.

LITERATURA


Cifrikova matematika - Rovnice
© Cifrik C., 2001–2017
Zpět na menu

Banner poskytovatele internetového prostoru:

Reklamní odkazy: PIKOMAT v Praze  |  Specialista na Posázaví

Citát: Hluboce si vážím matematiky, neboť ti, kdož jsou obeznámení, v ní vidí prostředek k chápání všeho existujícího. (Bháskara)