Středa, 18. října 2017.

Rovnice s parametrem

Několik řešených příkladů k maturitní otázce "Rovnice s parametrem".

1. p^2(x-1)=px-1

2. (x-5)(p-3)=2x

3. (p^2-1)x=p-1

4. (2+ax)/(a+x)=2a

5. (x+a)/2-2/(x+a)=(x-a)/2

6. (x^2+a)^(1/2)=a-x

7. x^2+(b-4)x-2b+13=0

8. (b-2)x^2-(3b-6)x+6b=0

9. x/(x-a)-2a/(x+a)=8a^2/(x^2-a^2)

[Pozn.: Příklady jsou z mé pedagogické praxe na SPŠ ST v Panské]


Příklad 1

Řešte v oboru reálných čísel rovnici

p^2(x-1)=px-1

s neznámou x a reálným parametrem p.

Řešení:

úpravy

Po uvedených (ekvivalentních) úpravách se nám řešení rozkládá na tři části závislé na parametru p [Pozn.: nulou se nedělí ani v neděli]:

diskuse

Výsledek přehledně zaznamenáme do tabulky:

výsledek

[Pozn.: K je označení pro množinu řešení]


Příklad 2

Řešte v oboru reálných čísel rovnici

(x-5)(p-3)=2x

s neznámou x a reálným parametrem p.

Řešení:

úpravy

Před pokračováním v dalších úpravách stanovíme podmínku pro parametr p:

diskuse

a dopočítáme rovnici pro vyloučenou hodnotu parametru p:

diskuse

Zaznamenáme výsledek:

výsledek


Příklad 3

Řešte v oboru reálných čísel rovnici

(p^2-1)x=p-1

s neznámou x a reálným parametrem p.

Řešení:

diskuse

Tabulka výsledků:

výsledek


Příklad 4

Řešte v oboru reálných čísel rovnici

(2+ax)/(a+x)=2a

s neznámou x a reálným parametrem a.

Řešení:

úpravy

Diskuse:

diskuse

Ověříme, splňuje-li vypočítaný kořen počáteční podmínku (tj. podmínku před odstraněním jmenovatele z levé strany rovnice):

diskuse

Dodejme, že pro diskuse vychází hodnota neznáme diskuse a tedy rovnice nemá řešení.

Tabulka výsledků:

výsledek


Příklad 5

Řešte v oboru reálných čísel rovnici

(x+a)/2-2/(x+a)=(x-a)/2

s neznámou x a reálným parametrem p.

Řešení:

úpravy

Diskuse:

diskuse

Ověříme počáteční podmínku:

diskuse

Tabulka výsledků:

výsledek


Příklad 6

Řešte v oboru reálných čísel rovnici

(x^2+a)^(1/2)=a-x

s neznámou x a reálným parametrem a.

Řešení:

úpravy

Diskuse:

diskuse

Ověříme, splňuje-li vypočítaný kořen počáteční podmínky (tj. podmínky před umocněním):

diskuse

diskuse

Tabulka výsledků:

výsledek


Příklad 7

Řešte v oboru komplexních čísel rovnici

x^2+(b-4)x-2b+13=0

s neznámou x a reálným parametrem b.

Řešení:

úpravy

Diskuse [Pozn.: na základě diskriminantu]:

diskuse

Tabulka výsledků:

výsledek


Příklad 8

Řešte v oboru komplexních čísel rovnici

(b-2)x^2-(3b-6)x+6b=0

s neznámou x a reálným parametrem b.

Řešení:

úpravy

O dalších vlastnostech rozhodneme na základě diskriminantu:

diskuse

diskuse

Tabulka výsledků:

výsledek


Příklad 9

Řešte v oboru komplexních čísel rovnici

x/(x-a)-2a/(x+a)=8a^2/(x^2-a^2)

s neznámou x a reálným parametrem b.

Řešení:

úpravy

Diskuse:

diskuse

Tabulka výsledků:

výsledek


Cifrikova matematika - Rovnice s parametrem
© Cifrik C., 2001–2017
Zpět na menu

Banner poskytovatele internetového prostoru:

Reklamní odkazy: PIKOMAT v Praze  |  Specialista na Posázaví

Citát: Práce matematika nespočívá v provádění nějakých předepsaných úkonů, ale v poznávání neznámého. V objevování pomocí dedukce z axiomů. (prof. Petr Hájek)