...alespoň to základní o Moivrově větě
Moivreova [Moivrova] věta pro násobení komplexních čísel v goniometrickém tvaru:
Pro každá dvě komplexní čísla ,
platí:
Důsledek: Pro komplexní číslo a přirozená čísla
platí:
1. Příklad užití Moivreovy věty k výpočtu mocniny komplexního čísla:
Vypočtěte (1 - i )8.
Nejprve převedeme číslo 1 - i na goniometrický tvar:
,
takže
Podle důsledku (1) Moivreovy věty je proto
2. Příklad užití Moivreovy věty k vyjádření cos nα, sin nα, (n je přirozené) pomocí cos α, sin α pro každé
:
Vyjádřete cos 4α, sin 4α pro libovolné reálné α pomocí cos α, sin α.
Podle Moivreovy věty je
.
Porovnáním reálných a imaginárních částí dostáváme
3. Příklad užití Moivreovy při výpočtu integrálů:
Určete
.
Označíme hledaný integrál
a přibereme v úvahu
.
Potom
Je tedy
Poznámka. V matematické analýze jsme poznali rozvoje:
takže
Tato řada souhlasí formálně se známým rozvojem pro exponenciální rovnici ex. Rozšíříme-li platnost rozvoje i pro komplexní exponenty, tj.
získáme srovnáním s hořejším vztahem
Komplexní číslo lze tedy vyjádřit těmito způsoby:
Moivre Abraham de, 26.5.1667 - 27.11.1754, anglický matematik francouzského původu. Zabýval se matematickou analýzou, teorii pravděpodobnosti a rekurentními řadami.
Reklamní odkazy: PIKOMAT v Praze | Specialista na Posázaví
Citát: Práce matematika nespočívá v provádění nějakých předepsaných úkonů, ale v poznávání neznámého. V objevování pomocí dedukce z axiomů. (prof. Petr Hájek)