Středa, 13. prosince 2017.

Moivreova [Moivrova] věta

Otázka:

...alespoň to základní o Moivrově větě


Vypracování:

Moivreova [Moivrova] věta pro násobení komplexních čísel v goniometrickém tvaru:

Pro každá dvě komplexní čísla Moivreova věta, Moivreova věta platí:

Moivreova věta

Důsledek: Pro komplexní číslo Moivreova věta a přirozená čísla Moivreova větaplatí:

Moivreova věta


Tři řešené příklady na užití Moivreovy věty:

1. Příklad užití Moivreovy věty k výpočtu mocniny komplexního čísla:

Vypočtěte (1 - i )8.


Nejprve převedeme číslo 1 - i na goniometrický tvar:

Moivreova věta,

takže

Moivreova věta

Podle důsledku (1) Moivreovy věty je proto

Moivreova věta

2. Příklad užití Moivreovy věty k vyjádření cos , sin , (n je přirozené) pomocí cos α, sin α pro každé Moivreova věta:

Vyjádřete cos 4α, sin 4α pro libovolné reálné α pomocí cos α, sin α.


Podle Moivreovy věty je

Moivreova věta.

Porovnáním reálných a imaginárních částí dostáváme

Moivreova věta

3. Příklad užití Moivreovy při výpočtu integrálů:

Určete Moivreova věta.


Označíme hledaný integrál Moivreova věta a přibereme v úvahu Moivreova věta.

Potom

Moivreova věta

Je tedy

Moivreova věta


Poznámka. V matematické analýze jsme poznali rozvoje:

Moivreova věta

takže

Moivreova věta

Tato řada souhlasí formálně se známým rozvojem pro exponenciální rovnici ex. Rozšíříme-li platnost rozvoje i pro komplexní exponenty, tj.

Moivreova věta

získáme srovnáním s hořejším vztahem

Moivreova věta

Komplexní číslo lze tedy vyjádřit těmito způsoby:

Moivreova věta


Moivre Abraham de, 26.5.1667 - 27.11.1754, anglický matematik francouzského původu. Zabýval se matematickou analýzou, teorii pravděpodobnosti a rekurentními řadami.


Cifrikova matematika - Moivreova věta
© Cifrik C., 2001–2017
Zpět na menu

Banner poskytovatele internetového prostoru:

Reklamní odkazy: PIKOMAT v Praze  |  Specialista na Posázaví

Citát: Když jsem nešťastným, pracuji na matematice, abych se stal šťastným. Když jsem šťastný, dělám matematiku, abych tak zůstal. (Alfréd Rényi)