Moivreova [Moivrova] věta

Otázka:

...alespoň to základní o Moivrově větě

---

Vypracování:

Moivreova [Moivrova] věta pro násobení komplexních čísel v goniometrickém tvaru:

Pro každá dvě komplexní čísla , platí:

Důsledek: Pro komplexní číslo a přirozená čísla platí:

---

Tři řešené příklady na užití Moivreovy věty:

1. Příklad užití Moivreovy věty k výpočtu mocniny komplexního čísla:

Vypočtěte (1 - i )⁸.

---

Nejprve převedeme číslo 1 - i na goniometrický tvar:

,

takže

Podle důsledku (1) Moivreovy věty je proto

2. Příklad užití Moivreovy věty k vyjádření cos nα, sin nα, (n je přirozené) pomocí cos α, sin α pro každé :

Vyjádřete cos 4α, sin 4α pro libovolné reálné α pomocí cos α, sin α.

---

Podle Moivreovy věty je

.

Porovnáním reálných a imaginárních částí dostáváme

3. Příklad užití Moivreovy při výpočtu integrálů:

Určete .

---

Označíme hledaný integrál a přibereme v úvahu .

Potom

Je tedy

---

Poznámka. V matematické analýze jsme poznali rozvoje:

takže

Tato řada souhlasí formálně se známým rozvojem pro exponenciální rovnici e^x. Rozšíříme-li platnost rozvoje i pro komplexní exponenty, tj.

získáme srovnáním s hořejším vztahem

Komplexní číslo lze tedy vyjádřit těmito způsoby:

---

Moivre Abraham de, 26.5.1667 - 27.11.1754, anglický matematik francouzského původu. Zabýval se matematickou analýzou, teorii pravděpodobnosti a rekurentními řadami.

Cifrikova matematika - Moivreova věta
© Cifrik C., 2001–2014